Bibliothek // Lexikon der Geothermie // D

Darcy-Gesetz

Das Darcy-Gesetz, benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy, ist eine empirisch (also durch Versuche) ermittelte Gesetzmäßigkeit der Strömungsmechanik. Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt Dijon veröffentlicht. Lange Zeit war es nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es sich herleitet. Heute weiß man, dass es sich um eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung handelt.

Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Wassermenge $Q$ (Durchflussrate in m³/s), die eine gesamte Querschnittsfläche $A$ (Porenraum + Matrix) eines porösen Mediums (z. B. Sand) laminar durchströmt, direkt proportional ist zum hydraulischen Gradienten i:

${\frac {Q}{A}}=v_{{\mathrm {f}}}=-k_{{\mathrm {f}}}\cdot i$

Der Begriff Filtergeschwindigkeit $v_{{\mathrm {f}}}$ ist historisch gewachsen; tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss (englisch specific discharge), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist: m 3 s ⋅ m 2 = m s
Er wird auch Volumenflussdichte genannt.
Der Proportionalitätsfaktor $k_{\mathrm {f} }$ ist der Durchlässigkeitsbeiwert.
Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass die Strömung in Richtung fallender Standrohrspiegelhöhen erfolgt.

Die restlichen beiden Größen der Darcy-Gleichung werden in den folgenden Unterkapiteln erläutert.

Durchlässigkeitsbeiwert

Der Proportionalitätsfaktor des Darcy-Gesetzes, der Durchlässigkeitsbeiwert $k_{{\mathrm {f}}}$ , ist ein dimensionsbehafteter Kennwert (Einheit m/s), der durch Laborversuche bestimmt werden kann (Durchlässigkeitsversuch). Er ist nicht nur von der Porengeometrie abhängig, sondern auch von der Dichte $\rho _{{\mathrm {F}}}$ (in kg/m³) und der dynamischen Viskosität $\eta _{{\mathrm {F}}}$ (in Ns/m²) des durchströmenden Fluids, z. B. Wasser bei 10 °C oder Erdöl im Boden (Petrochemie):

$k_{\mathrm {f} }=K{\frac {\rho _{\mathrm {F} }}{\eta _{\mathrm {F} }}}\,g$

Darin ist:

$K$ die (intrinsische) Permeabilität (Einheit m²), ein vom durchströmenden Medium unabhängiger Kennwert für die Durchlässigkeit eines porösen Mediums; oft auch angegeben in der Einheit Darcy.
$g$ die Schwerebeschleunigung

Hydraulischer Gradient

Der dimensionslose hydraulische Gradient $i$ (auch hydraulisches oder Potential gefälle genannt) ist im Allgemeinen, wie die Filtergeschwindigkeit v_f auch, eine vektorielle Größe und somit gerichtet. Er ergibt sich aus der örtlichen Ableitung der Standrohrspiegelhöhe (Piezometerhöhe) h(x) in die einzelnen Koordinatenrichtungen x:

$i(x)=-\operatorname {grad} (h(x))=-{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}.$

In der Grundwasser hydrologie wird der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten B und C mit dem Abstand L voneinander entlang der Fließstrecke häufig linear angenommen:

$i={\frac {h_{B}-h_{C}}{L}}$

$\Rightarrow {\frac {Q}{A}}=-k_{\mathrm {f} }\,{\frac {h_{B}-h_{C}}{L}}\;.$

Transportgeschwindigkeit

Die Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen (oder vollständig gelösten Wasserinhaltsstoffen) wird durch die Abstandsgeschwindigkeit $v_{\textrm {a}}$ beschrieben, die gebildet wird als Quotient der Filtergeschwindigkeit und der effektiven Porosität $\Phi _{f}$ :

$v_{\textrm {a}}={\frac {1}{\Phi _{f}}}\,v_{\textrm {f}}\;.$

Da $\Phi _{f}$ kleiner als eins ist, ist die Abstandsgeschwindigkeit und damit auch die Transportgeschwindigkeit größer als die Filtergeschwindigkeit.

Das Darcy-Gesetz (auch Darcy-Gleichung genannt) besagt, dass die Wassermenge Q, die eine Fläche A in einem porösen Medium (zum Beispiel Sand) (laminar) durchströmt, direkt proportional zum hydraulischen Gradienten i ist. Der Proportionalitätsfaktor dieser Beziehung, der k_f-Wert (Durchlässigkeitsbeiwert), ist ein Kennwert für das poröse Medium und das durchströmende Fluid (Flüssigkeit oder Gas).