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Gauß-Verteilung

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.

Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftlicher Vorgänge vom Mittelwert lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft logarithmische Normalverteilung) entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

zufällige Messfehler,
zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken,
Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.

In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, die die Streuung der Messfehler beschreibt. Hierbei ist von Bedeutung, wie viele Messpunkte innerhalb einer gewissen Streubreite liegen.

Standardabweichung σ

Die Standardabweichung beschreibt die Breite der Normalverteilung. Die Halbwertsbreite einer Normalverteilung ist das ungefähr 2,4-Fache (genau ) der Standardabweichung. Es gilt näherungsweise:

Im Intervall der Abweichung +- σ vom Mittelwert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,
Im Intervall der Abweichung+- 2σ vom Mittelwert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden. In der Praxis wird dieses Interval häufig als I95 bezeichnet.
Im Intervall der Abweichung +- 3σ vom Mittelwert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.

Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Mittelwert finden:

50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 0,675σ vom Mittelwert,
90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 1,645σ vom Mittelwert,
95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 1,960σ vom Mittelwert,
99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 2,576σ vom Mittelwert.

Somit kann neben dem Mittelwert auch der Standardabweichung eine einfache Bedeutung zugeordnet werden.

Bedeutung in der Geothermie

Insbesondere bei Simulationen (Monte-Carlo-Simulation) z. B. des hydraulischen Verhaltens eines Reservoirs werden neben den Parametern selbst auch deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen benötigt. Hier werden in der Regel Gauß-Verteilungen angenommen und neben dem Mittelwert des jeweiligen Parameters auch die 2σ (I₉₅) Grenzen angegeben.

Literatur:
Stephen M. Stigler: The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900. Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 9780674403413.