Bundesverband Geothermie: Wavelet

Zero phase (Ricker) wavelet, 'mexican hat'. Quelle: SEG

Reales und komplexes Morlet-Wavelet. Quelle: Weisang.

Ein Wavelet ('kleine Welle') ist ein kurzer Wellenzug aus dem ein größeres raum-zeitliches Wellenfeld zusammengesetzt sein kann. Wavelets können im Zeitbereich vorkommen (Seismik) aber auch im Ortsbereich (Gravimetrie, Magnetik). Sie können eindimensional sein oder mehr- (in der Regel zwei-) dimensional.

Der theoretische Prozess, wie aus einem wavelet ein Wellenfeld entsteht, ist in der Regel eine Faltung (Konvolution, convolution). Der umgekehrte Prozess eine Dekonvolution (deconvolution).

In der Seismik ist wavelet oft synonym zu Quellsignal, kann aber zusätzlich noch durch Dämpfung auf dem Wellenweg verändert werden.

Jedes wavelet hat im Frequenzbereich ein Amplituden- und ein Phasenspektrum. Real gemessene wavelets sind naturgemäß kausal, da sie Reaktionen auf eine Einwirkung (Sprengung, Vibration) sind. Mathematisch gesehen haben sie daher ein minimalphasiges Spektrum (minimum phase wavelet). Aus einem Sweep der Vibroseismik durch Korrelation gewonnene wavelets dagegen sind nullphasig (zero phase wavelets), sie sind symetrisch und akausal. Umgangssprachlich werden zero phase wavelets wegen ihres Aussehens auch 'mexican hat wavelet' genannt.

Verschiedene Wavelets lassen sich ineinander umrechnen (wavelet processing). Da die zero-phase-wavelets die größere Auflösung haben, werden seismische Sektionen oft als zero phase dargestellt.

Für theoretische Betrachtungen wird in der Seismik oft ein Ricker-Wavelet unterstellt. Es ist definiert durch:

wobei t die Laufzeit und f die Mittelfrequenz ist. Ein weiteres in der Geophysik oft benutztes Wavelet ist das Morlet-Wavelet (nach dem Geophysiker Morlet), das Produkt aus einer Sinuswelle mit einer Gaußfunktion.

Wavelets im Ortsbereich (meist 2-dimensional) spielen auch in der Gravimetrie, in der Magnetik und bei anderen Potenzialverfahren eine Rolle.

Kontinuierliche Wavelet Transformation (CWT)

Die Kontinuierliche Wavelet Transformation (CWT = Continuous Wavelet Transform) wird verwendet, um ein Signal in Wavelets zu zerlegen. Wavelets sind Oszillationen, die in einem kurzen Zeitausschnitt auftreten. Während die Fourier-Transformation ein Signal in zeitlich unbeschränkte Sinus- und Kosinusschwingungen zerlegt und dabei jegliche Information zur Zeitlokalisierung verliert, sind die Elementarfunktionen der CWT skalierte und verschobene Versionen des zeit-lokalen Mutter-Wavelets. Die CWT wird zur Erstellung einer Zeit-Frequenz-Repräsentation des Signals verwendet, die eine hohe Zeit und Frequenz-Auflösung aufweist.

Die CWT ist ein exzellentes Werkzeug zur Abbildung der sich ändernden Eigenschaften nicht-stationärer Signale. Sie ist ebenfalls gut geeignet, um die Stationariät zu überprüfen. Wenn ein Signal sich als nicht-stationär erweist, dann kann die CWT dazu verwendet werden, stationäre Teilstücke des Signals aufzuspüren.

Anders als die Fourier-Zerlegung, welche komplexe Exponentialfunktionen als Elementarfunktionen verwendet, werden bei der Wavelet-Zerlegung zeitlokale Mutter-Wavelets eingesetzt. Die Mutter-Wavelet-Funktion ist kontinuierlich sowohl in der Zeit als auch in der Frequenz und dient als Ausgangsfunktion für die Konstruktion der skalierten und verschobenen Elementarfunktionen. Das Mutter-Wavelet kann komplex oder reell sein und weist in jedem Fall einen Anpassungsparameter auf, mit der die Eigenschaften der Schwingung eingestellt werden können. Die Wavelet-Analyse ist schwieriger als die Fourier-Analyse, da das Mutter-Wavelet, aus dem die Elementarfunktionen konstruiert werden, zunächst festgelegt werden muss. FlexPro bietet drei verschiedene Mutter-Wavelets, jedes in einer komplexen und einer reellen Version. Das am häufigsten verwendete Wavelet ist das Morlet-Wavelet.

Literatur

Bauer, K., Norden, B., Ivanova, A., Stiller, M., Krawczyk, C.: Wavelet transform-based seismic facies classification and modelling: application to a geothermal target horizon in the NE German Basin:
In: Geophysical Prospecting (2019), https://doi.org/10.1111/1365-2478.12853

Boukerbout, H., Gilbert, D.: Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: Two dimensional ridgelet analysis:
In: J. Geophys. Res., Nummer 111, BO7104, doi: 10.1029/2005JB004078 (2006)

Chakraborty A. and Okaya D.: Frequency time decomposition of seismic data using wavelet based methods: In: Geophysics Nummer 60 (1995), S. 1906-1916

de Matos M.C., Osorio P.L.M. and Johan nP.R.S.: Unsupervised seismic facies analysis using wavelet transform and self‐organizing maps: In: Geophysics Nummer 72 (2007), S. P9‐P21

Fedi, M., and Quarta, T.: Wavelet analysis for the regional-residual separation of potential field anomalies: In: Geophysical Prospecting Nummer 46 (1998), S. 507-525

Martelet, G., Sailhac, P., Moreau, F., and Diament, M.: Characterization of geological boundaries as 1-D wavelet transforms on gravity data: theory and application to the Himalayas: In: Geophysics Nummer 66 (2001), S. 1116–1129

Sailhac, P., Gilbert, D., Boukerbout, H.: The theory of the continuous wavelet transform in the interpretation of potential fields: a review: In: Geophysical Prospecting Nummer 57 (2009), S. 517-525

Boukerbout, H., Gilbert, D.: Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform: Two dimensional ridgelet analysis. In: J. Geophys. Res., Nummer 111, BO7104, doi: 10.1029/2005JB004078 (2006)

Fedi, M., and Quarta, T.: Wavelet analysis for the regional-residual separation of potential field anomalies. In: Geophysical Prospecting Nummer 46 (1998), S. 507-525

Martelet, G., Sailhac, P., Moreau, F., and Diament, M.: Characterization of geological boundaries as 1-D wavelet transforms on gravity data: theory and application to the Himalayas. In: Geophysics Nummer 66 (2001), S. 1116–112

Sailhac, P., Gilbert, D., Boukerbout, H.: The theory of the continuous wavelet transform in the interpretation of potential fields: a review. In: Geophysical Prospecting Nummer 57 (2009), S. 517-525

Zu der sehr umfangreichen Literatur siehe auch unter Literaturdatenbank und/oder Konferenzdatenbank.