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Darcy-Gesetz

Henry Gilbert Gaspard Dary

Das Darcy-Gesetz, benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy, ist eine empirisch (also durch Versuche) ermittelte Gesetzmäßigkeit der Strömungsmechanik. Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt Dijon veröffentlicht. Lange Zeit war es nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es sich herleitet. Heute weiß man, dass es sich um eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung handelt.

Das Darcy-Gesetz (auch Darcy-Gleichung genannt) besagt, dass die Wassermenge Q, die eine Fläche A in einem porösen Medium (zum Beispiel Sand) (laminar) durchströmt, direkt proportional zum hydraulischen Gradienten i ist. Der Proportionalitätsfaktor dieser Beziehung, der kf-Wert (Durchlässigkeitsbeiwert), ist ein Kennwert für das poröse Medium und das durchströmende Fluid (Flüssigkeit oder Gas).

Der hydraulische Gradient oder das hydraulische Gefälle i ist definiert als der Quotient der Differenz der Standrohrspiegelhöhen (Piezometerhöhen) hB und hC an zwei Punkten B und C entlang der Fließstrecke und dem Abstand L der beiden Punkte voneinander.

Das Gesetz lautet:

vf  = -kfi

oder

Q = vfA = -kfiA.

Der Durchlässigkeitsbeiwert ist von zentraler Bedeutung, wenn es um die Quantifizierung von Durchflussmengen im Untergrund geht. Er geht als Faktor in das Darcy-Gesetz ein. Kennt man den durch den Grundwasserfluss erfassten Querschnitt, so lässt sich dadurch die Wassermenge pro Zeiteinheit Q [m3 s−1] bestimmen. Durch die Abhängigkeit des Durchlässigkeitsbeiwertes von den physikalischen Eigenschaften des Wassers, verändert sich der Durchfluss in Abhängigkeit von Temperatur und Druck des Grundwassers, d. h. in der Regel ist der Durchfluss bei hohen Temperaturen deutlich größer als bei niedrigen Temperaturen.

Das Darcy-Gesetz ist streng genommen nur im Bereich laminaren (linearen) Fließens gültig. Bei sehr geringen Durchlässigkeiten mit äußerst niedrigen hydraulischen Gradienten sowie bei sehr hohen Durchlässigkeiten mit extrem hohen Gradienten sind jeweils andere Fließgesetze gültig. Beide Extreme liegen jedoch bei hydrothermalen Nutzungen i. d. R. nicht vor.

Literatur

Stober, Ingrid; Kurt Bucher (2020): Geothermie, Springer Spektrum, 3. Auflage. ISBN 978-3-662-60939-2 ISBN 978-3-662-60940-8 (eBook). https://doi.org/10.1007/978-3-662-60940-8.

zuletzt bearbeitet August 2020

wobei:­

  • Q – Durchflussrate; [Q] = m³/s;
  • vf – Filtergeschwindigkeit; [vf] = m/s
  • A – Gesamtquerschnitt (Porenraum + Matrix); [A] = m²
  • kf – Durchlässigkeitsbeiwert; [kf] = m/s
  • i – hydraulischer Gradient (auch hydraulisches Gefälle oder Potentialgefälle); [i] = m/m
  • hBStandrohrspiegelhöhe an der Stelle B; [hB] = m
  • hC – Standrohrspiegelhöhe an der Stelle C; [hC] = m
  • L – Fließstrecke zwischen B und C; [L] = m

Der Begriff Filtergeschwindigkeit ist historisch gewachsen. Tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss (engl. specific discharge), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist.

Die Filtergeschwindigkeit (FG) berechnet sich aus dem Durchmesser des Behälters (D) der Querschnittsfläche (F) und dem Wasser-Volumenstrom (VS):

  • F = (D/2)2 x pi
  • FG = VS / F

Beispiel

  • gegebener Behälter-Durchmesser: 1,6 m
  • gegebener Wasser-Volumenstrom: 23 m3/h
  • berechneter Behälter-Querschnittsfläche = (1,6 m / 2)2 x 3,14 = 2 m2
  • berechnete Filtergeschwindigkeit = 23 m3/h / 2 m2 = 11,5 m/h 

Literatur

BMU-Broschüre „Tiefe Geothermie – Nutzungsmöglichkeiten in Deutschland“ (Sep. 2011)

Weblinks

http://de.wikipedia.org/wiki/Darcy-Gesetz

http://www.gutmbh.de/Filtergeschwindigkeit.htm 

zuletzt bearbeitet März 2020