Bibliothek // Lexikon der Geothermie // D

Diffusionsgleichung

Die Fourier-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung und beschreibt die Ausbreitung thermischer Veränderungen eines Körpers durch Wärmeleitung oder die Ausbreitung eines gelösten Stoffes durch Diffusion. Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung wird Wärmeleitungskern genannt.

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec x},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=0,$

wobei $u({\vec x},t)$ die Temperatur an der Stelle ${\vec {x}}$ zum Zeitpunkt $t$ , $\Delta$ der Laplace-Operator bezüglich ${\vec {x}}$ und die Konstante $a>0$ die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist.

Eine häufig verwendete Vereinfachung berücksichtigt nur eine Raumdimension und beschreibt zum Beispiel die zeitliche Änderung der Temperatur in einem dünnen, relativ dazu langen Stab aus festem Material. Dadurch wird der Laplace-Operator zu einer einfachen zweiten Ableitung: