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Herglotz-Wiechert-Verfahren

Das Herglotz-Wiechert-Verfahren wird angewandt, um ein 1D-Geschwindigkeitsmodell aus gemessenen Laufzeitkurven zu erstellen. Eine grundlegende Voraussetzung für dieses Verfahren ist, dass die Geschwindigkeit mit steigender Tiefe monoton zunimmt. Das bedeutet, dass im Untergrund keine Inversionszonen oder Niedergeschwindigkeitszonen auftreten dürfen. Diese Zonen können jedoch identifiziert und ausgeschlossen werden. Aus der Formel für die Epizentraldistanz, einem Variablenwechsel und partieller Integration ergibt sich die folgende Formel:

$\pi \ln {\frac {R}{r_{1}}}=\int \limits _{{\Delta =0}}^{{\Delta _{1}}}\cosh ^{{-1}}\left({\frac {p(\Delta )}{\eta _{1}}}\right){\text{d}}\Delta$

und $p(\Delta _{1})=\eta _{1}$ , wobei

$\Delta$ die Eizentraldistanz,

$p(\Delta )$ der Strahlparameter in Abhängigkeit von der Epizentraldistanz und

$\eta _{1}={\frac {r_{1}}{c(r_{1})}}$ der Radius normiert auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind.

Dieser analytische Ansatz löst das inverse Problem eindeutig. Allerdings können einige Schwierigkeiten nicht gelöst werden:

Die Beziehung zwischen der Laufzeit bzw. dem Strahlparameter und der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist nichtlinear. Kleine Änderungen in der Ausbreitungsgeschwindigkeit führen also zu unproportionalen Änderungen der Laufzeit bzw. des Strahlparameters.
Triplikationen in Laufzeiten, besonders späte Ankunftszeiten, sind schwer zu messen, aber nötig, um eine eindeutige Geschwindigkeitstiefenfunktion abzuleiten.
Niedergeschwindigkeitszonen können nicht aufgelöst werden.
Da stetige Funktionen für die Laufzeit und den Strahlparameter benötigt werden, muss interpoliert werden. Diese Ergebnisse variieren jedoch mit dem Interpolationsverfahren