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Kriging

Unter Kriging (oder auch: Krigen) versteht man ein geostatistisches Verfahren, mit dem man Werte an Orten, für die keine Stichprobe vorliegt durch umliegende Messwerte interpolieren oder auch annähern kann.

Der südafrikanische Bergbauingenieur Danie Krige (1951) versuchte eine optimale Interpolationsmethode für den Bergbau zu entwickeln, basierend auf der räumlichen Abhängigkeit von Messpunkten. Das Verfahren wurde später nach ihm benannt. Der französische Mathematiker Georges Matheron (1963) entwickelte die "Theorie der regionalisierten Variable", welche die (nachträglich erarbeitete) theoretische Grundlage der von Danie Krige entwickelten Methode bildet.

Der wesentliche Vorteil gegenüber einfacheren Methoden wie beispielsweise der Inversen Distanzgewichtung ist die Berücksichtigung der räumlichen Varianz, die sich mit Hilfe der Semivariogramme ermitteln lässt. Für einen gesuchten Wert werden dabei die Gewichte der in die Berechnung einfließenden Messwerte so bestimmt, dass die Schätzfehlervarianz möglichst gering ist. Der Fehler hängt dabei von der Qualität des Variogramms bzw. der Variogrammfunktion ab.

Cokriging

Herkömmliche Regressionsmethoden verwenden nur Daten, die am Zielort verfügbar sind, und verwenden keine vorhandenen räumlichen Korrelationen von sekundären Datenkontrollpunkten und dem zu schätzenden primären Attribut. Cokriging-Methoden werden verwendet, um die Kovarianz zwischen zwei oder mehr regionalisierten Variablen zu nutzen, die miteinander in Beziehung stehen, und sind geeignet, wenn das interessierende Hauptattribut (Bohrlochdaten) spärlich ist, aber zugehörige Sekundärinformationen (Seismik) reichlich vorhanden sind. Die gemeinssame Verwendung und mathematische Zusammenführung unterschiedlicher Datensätze bedingt die Vorsilbe 'Co' bei der Bezeichnung Cokriging.

Geostatistische Datenintegrationsmethoden führen zu zuverlässigeren Lagerstättenmodellen, da sie von den Stärken beider Datentypen profitieren. Das gegenseitige räumliche Verhalten von regionalisierten Variablen (RVs) wird als Co-Regionalisierung bezeichnet.

Cokriging erfordert die Erfüllung der gleichen Bedingungen wie Kriging, erfordert jedoch mehr Variographie, Modellierung und Rechenzeit. Interessanterweise wird der Unterstützungseffekt beim Cokriging jedoch durch die Kreuzkovarianzfunktion gehandhabt, sodass viele verschiedene Arten und Skalen von Daten leicht integriert werden können. Die gängigen Cokriging-Methoden sind multivariate Erweiterungen des Kriging-Gleichungssystems und verwenden zwei oder mehr zusätzliche Attribute. Die vier gängigen Cokriging-Methoden sind einfach, gewöhnlich, zusammengelegt und Indikator. Einfaches Cokriging verwendet ein multivariates räumliches Modell und ein zugehöriges sekundäres 2D- oder 3D-Attribut, um die Interpolation eines primären Attributs zu steuern, das nur an Bohrlochstandorten bekannt ist. Der Mittelwert wird explizit angegeben und als globale Konstante angenommen.

Gewöhnliches Cokriging ähnelt dem einfachen Cogriging darin, dass der Mittelwert als konstant angenommen wird, unterscheidet sich jedoch darin, dass der Mittelwert nicht global angegeben, sondern lokal innerhalb jedes Satzes von Nachbarschaftskontrollpunkten geschätzt wird. Collocated Cokriging kann einfach oder gewöhnlich sein. Es verwendet wie zuvor alle Primärdaten, enthält aber auch einen oder mehrere Sekundärdatenwerte, die andere Orte als die Bohrlochdaten haben. Indikator-Cokriging kann einfach oder gewöhnlich sein und schätzt die Wahrscheinlichkeit oder den Anteil eines diskreten Attributs an jedem Gitterknoten (z. B. Lithologie oder Produktivität) und erfordert eine binäre Codierung der primären und sekundären Attribute.

Sonderformen

Im Laufe der Zeit und wegen die vielfachen Anwendungen wurden viele Sonderformen entwickelt. Beispiele sind:

Simple Kriging: Der Erwartungswert E Y ( x ) = m ( x ) {\displaystyle EY(x)=m(x)} ist konstant und bekannt, d. h. m ( x ) = m {\displaystyle m(x)=m} .
Ordinary Kriging: Der Erwartungswert m ( x ) {\displaystyle m(x)} ist konstant, aber unbekannt, muss also geschätzt werden.
Universal Kriging: m ( x ) {\displaystyle m(x)} ist nicht konstant und wird durch einen linearen Regressionsansatz modelliert. Die Regressionsparameter werden mit geschätzt.
Indikator-Kriging: Für Merkmale mit nur zwei Ausprägungen (z. B. Grenzwert überschritten – ja oder nein)
Bayesian Kriging: Wenn bei ordinärem Kriging Multi-Modalität vorliegt, kann dies durch Mittelung über die Moden umgangen werden.^[1]

Bedeutung in der Geothermie

Auch in der Geothermie werden Isoliniendarstellung meist unter Anwendung von Kriging oder Cokriging realisiert.

Literatur

Sepúlveda, F., Rosenberg, M., Rowland, J., Simmons, S.: Kriging predictions of drill-hole stratigraphy and temperature data from the Wairakei geothermal field, New Zealand: Implications for conceptual modeling. In: Geothermics Nummer () (April 2012), S. 13-31