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Kugelfunktion

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen Y l m ( ϑ , φ ) $Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ , dabei sind N l m $N_{lm}$ Normierungsfaktoren und P l m ( z ) $P_{lm}(z)$ die zugeordneten Legendrepolynome:

$Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }$ $\quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}$

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden.