Bibliothek // Lexikon der Geothermie // V

Voronoi-Diagramm

Als Voronoi-Diagramm, Voronoi-Parkettierung auch Thiessen-Polygone oder Dirichlet-Zerlegung, wird eine Zerlegung einer Fläche oder des Raumes in Regionen bezeichnet, die durch eine vorgegebene Menge an Punkten des Raumes, hier als Zentren bezeichnet, bestimmt werden. Jede Region wird durch genau ein Zentrum bestimmt und umfasst alle Punkte des Raumes, die in Bezug zur euklidischen Metrik näher an dem Zentrum der Region liegen als an jedem anderen Zentrum. Derartige Regionen werden auch als Voronoi-Regionen bezeichnet. Aus allen Punkten, die mehr als ein nächstgelegenes Zentrum besitzen und somit die Grenzen der Regionen bilden, entsteht das Voronoi-Diagramm. Benannt sind Voronoi-Diagramme nach dem Mathematiker Georgi Feodosjewitsch Woronoi, die alternativen Bezeichnungen leiten sich von Alfred H. Thiessen respektive Peter Gustav Lejeune Dirichlet ab.

Praktische Anwendung

In der Praxis sind diese Zentren oft ungleichmäßig verteilte georeferenzierte Messpunkte auf einer Fläche. Die dem jeweiligen Meßpunkt zugeordnete Teilflächen (Voronoi Regionen) enthällt dann alle Punkte, die diesem Zentralpunkt näher sind als jedem anderen Zentralpunkt. Es macht also Sinn, den an diesem Meßpunkt gemessenen Messwert der gesamten zugeordneten Fläche (Region) zuzuordnen. Man hat so eine Alternative zu einem Gridding, bei dem die Originalmesspunkte durch regelmäßig angeordnete interpolierte 'Messpunkte' ersetzt werden (z.B. durch Kriging). Die Voronoi-Diagramme können dann z.B. durch eine Delaunay-Triangulation weiter verarbeitet werden, dabei werden die Originalmesspunkte besser honoriert als bei der Umrechnung in ein regelmäßiges Grid mit interpolierten Werten. Das Voronoi-Diagramm verhält sich nämlich dual zur Delaunay-Triangulierung und wird zur Konstruktion einer entsprechend triangulierten Oberfläche verwendet. Zuammen sind also Voronoi-Diagramme mit der dualen Delaunay-Triangulation ein statistisches Verfahren zur Aufarbeitung und Darstellung georeferenzierter Daten.

3D

Voronoi-Diagramme können nicht nur für Flächen (2D) sondern auch für den Raum (3D) und sogar für n-dimensionale Räume entwickelt werden. So lassen sich dann Messwerte einem Teilvolumen des Betrachtungsraums zuordnen.

Anwendung in der Geothermie

Aufarbeitungen über Voronoi-Diagramme sind in der Geothermie vielfach vorteilhaft. Beispiele sind geophysikalische Potentialdaten (Magnetik, Gravimetrie), insbesonder wenn die Daten nicht auf regelmäßigen Profilen sondern z.B. nach der 'random walk' Methode gewonnen wurden. Besonders interessant ist diese Vogehensweise aber bei in Bohrlöchern gewonnenen Daten aus denen man Aussagen über die Fläche oder für ein Teilvolumen des Reservoirs ableiten will.

Andere Anwendungsbeispiele

Kunst

Voronoi-Diagramme haben auch Eingang in die Kunst gefunden wenn durch ausgewählte Verteilungen der Zentralpunkte und der Flächenfarben vielfältige Wirkungen erreicht werden können.

Fußball

In der Analyse von Fußballspielen und taktischem Verhalten der Spieler werden Voronoi-Diagramme verwendet, um die Raumkontrolle beider Mannschaften zu visualisieren: Die einzelnen Linien trennen die Räume ab, welche die Verteidiger und welche die Angreifer zuerst erreichen können. So zeigt sich, welche Räume die angreifende Mannschaft kontrolliert und welche Räume die verteidigende Mannschaft kontrolliert.

Literatur

Kätker, J., Adaptive Akquisition und online Bearbeitung irreguläre verteilter geomagnetischer Daten, Dissertation, Ruhruniversität, Bochum, 2001

Sauerläner, S., 3D Inversion geomagnetischer Daten mit eine simulated annealing Ansatz, Dissertation, Ruhruniversität, Bochum, 2000

Dresen, L., J. Kätker, E. Räkers, H. Rüter, S, Saurländer, Subspace Inversion von Magnetikdaten auf irregulär verteilten Stützstellen, Abschlussbericht Ministerium für Schule, Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung NRW, 2001