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Wavelettransformation

Als Wavelet-Transformation (WT, englisch: wavelet transform) wird eine Familie von linearen Zeit-Frequenz-Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften (primär: Nachrichtentechnik, Informatik) bezeichnet. Die WT setzt sich zusammen aus der Wavelet-Analyse, welche den Übergang der Zeitdarstellung in die Spektral- bzw. Waveletdarstellung bezeichnet, und der Wavelet-Synthese, welche die Rücktransformation der Wavelettransformierten in die Zeitdarstellung bezeichnet.

Der Begriff Wavelet bezeichnet die für die Transformation benutzte Basisfunktion, mit der das zu analysierende Signal oder Bild – im Allgemeinen eine n-dimensionale Funktion – „verglichen“ wird.

Die Wurzeln der Waveletschule liegen in Frankreich, wo auch der ursprünglich französische Begriff ondelette geprägt wurde, dessen englisches Pendant wavelet sich jedoch später als Bezeichnung durchgesetzt hat. Ins Deutsche übersetzt bedeutet Wavelet so viel wie kleine Welle oder Wellchen und drückt den Umstand aus, dass man im Gegensatz zur Fourier-Transformation zeitlich lokalisierte Wellen bzw. Funktionen als Basis benutzt, wodurch die eingangs erwähnte Zeit- und Frequenzauflösung möglich wird. Wie alle linearen Zeit-Frequenz-Transformationen unterliegt auch die Wavelettransformierte der Unschärferelation der Nachrichtentechnik, d. h. ein Ereignis kann nicht gleichzeitig beliebig genau in Zeit und Frequenz lokalisiert werden. Es gibt immer nur einen Kompromiss aus guter zeitlicher Auflösung oder guter Auflösung im Frequenzbereich.

Die Wavelet-Transformation unterteilt sich in erster Linie in zwei Lager, nämlich die kontinuierliche Wavelet-Transformation, welche ihre Hauptanwendung in der Mathematik und der Datenanalyse hat, und die diskrete Wavelet-Transformation, welche eher in den Ingenieurswissenschaften zu finden ist und deren Anwendung im Bereich der Datenreduktion, der Datenkompression, des Signalverarbeitung und des denoising (Unterdrückung von Störsignalen) liegt.

Die Wavelet-Transformation kann als Verbesserung der Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) angesehen werden.

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT, engl. continuous wavelet transform) ist gegeben durch

${\mathcal {W}}_{\psi }x(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\;dt.$

Dabei ist

$x(t)$ : die zu transformierende Funktion, beispielsweise ein Audio- oder Bildsignal
$\psi(t)$ : Wavelet-Funktion (engl. mother wavelet) welche je nach Anwendung verschieden gewählt werden kann
$b$ : Translationparameter, zur Abtastung der Daten x ( t ) {\displaystyle x(t)} $x(t)$ in der zeitlichen bzw. räumlichen Dimension
$a$ : Skalierungsparameter, welcher die Daten über verschiedene Frequenzbereiche scannt

Mit der aus dem Mother-Wavelet $\psi(t)$ abgeleiteten Wavelet-Familie

$\psi _{ab}={\frac {1}{a}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)$

lässt sich die kontinuierliche Wavelet-Transformation kompakt als Skalarprodukt

${\mathcal {W}}_{\psi }x(a,b)=\langle \psi _{{ab}},x\rangle$

schreiben.

Anwendung in der Geothermie

Waveletanalyse und Waveletsysnthese werden in der Geothermie, besonders in der Geophysik häufig und routinemäßig angewendet. Ein Beispiel ist die Bearbeitung von Zeitreihen z.B. in der Seismik oder Seismologie. Hier werden dann Filter (denoising) oft im Waveletbereich angewendet. Ein anderes Beispiel ist die Modalanalyse zur Erarbeitung von Dispersionkurven von Oberflächenwellen.

Zweidimensionale Waveletanalysen sind z.B. in der Magnetik und Gravimetrie üblich. Routinemäßige Anwendungen in der Bildverarbeitung können bei allen Visualiserungen eine Rolle spielen.

Literatur

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