Mitglied werden Sponsor werden

Radon-Transformation

Radontransformation einer Funktion, die innerhalb der grauen Bereiche gleich eins ist, sonst null: Die Radontransformierte für einen festen Winkel alpha ist blau eingezeichnet. Quelle: Wikipedia commons

Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion längs aller Geraden der -Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte als eine Projektion der Funktion auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweitere Variante wird als Penrose-Transformation bezeichnet.

Die Radon-Transformation ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon benannt. Er führte sie 1917 in der Veröffentlichung Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten ein. Eine wichtige praktische Anwendung dieser Transformation, genauer der Rücktransformation, liegt in der Computertomographie zur Bildgewinnung, beispielsweise in der medizinischen Diagnostik zugrunde. 

Definition

Sei f: R2 -- R stetig und außerhalb eines Kreises von endlichem Radius identisch Null und sei γ eine Gerade, die durch den Winkel γ zum Ursprung definiert ist. Dann ist die Radon-Transformation gegeben durch das Linienintegral von(x,y)  entlang γ.

Die Gerade ist:

 x(t), y(t) = r cos α + t sin α, r sin α – t cos α.

Damit lässt sich das Linienintegral auch schreiben als

Bedeutung in der Geothermie

Die Radon-Transformation ist die Grundlage aller im weiteren Sinn mit 'Tomographie' bezeichneten Verfahren (seismisch und nicht-seismisch). In der Praxis wird hier die Transformation selten analytisch angewendet, sondern in Form numerischer Annäherungen. Dies sind sowohl im Zeit- bzw. im Zeit-Raum-Bereich(x-t-Bereich) als auch im Frequenz- bzw. Frequenz- Wellenlängen- Bereich (f-k-Bereich) möglich und üblich.

Weblink

https://de.wikipedia.org/wiki/Radon-Transformation